矩阵相关知识

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10/2016

分类：数学 | 浏览 (3322) | 评论 (0)

线性代数知识好久不用了，完全忘了。在看论文的过程中，经常会因为某个概念抓不着头脑。这里总结一下。其中大部分的概念转自维基百科。

初等矩阵

初等矩阵（又称为基本矩阵）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

两行（列）互换： $R_i \leftrightarrow R_j$
把某行（列）乘以一非零常数： $kR_i \rightarrow R_i,\$ 其中 $k \neq 0$

把第i行（列）加上第j行（列）的k倍： $R_i + kR_j \rightarrow R_i$

初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。

余子式

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作M_ij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。

代数余子式

定义：A关于第i行第j列的代数余子式是： $\mathbf{C}_{ij} =(-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}$ 。

余子矩阵

定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。

伴随矩阵

定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵： $\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T$ 。

$\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad(*)$

逆矩阵https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5

逆矩阵（英语：inverse matrix）：在线性代数中，给定一个n阶方阵 $\mathbf {A}$ ，若存在一n阶方阵 $\mathbf {B}$ ，使得 $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$ ，其中 $\mathbf {I} _{n}$ 为n阶单位矩阵，则称 $\mathbf {A}$ 是可逆的，且 $\mathbf {B}$ 是 $\mathbf {A}$ 的逆矩阵，记作 $\mathbf {A} ^{-1}$ 。

只有正方形（n×n）的矩阵，亦即方阵，才可能、但非必然有逆矩阵。若方阵 $\mathbf {A}$ 的逆矩阵存在，则称 $\mathbf {A}$ 为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似，逆矩阵一般常用于求解包含数个变数的数学方程式。

伴随矩阵法

如果矩阵 $A$ $A$ 可逆，则 $A^{-1}={\frac {A^{*}}{|A|}}$ $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$ 其中 $A^{*}$ $A^*$ 是 $A$ $A$ 的伴随矩阵。

初等变换法

如果矩阵 $A$ $A$ 和 $B$ $B$ 互逆，则 $AB=BA=I$ $AB=BA=I$ 。由条件 $AB=BA$ $AB=BA$ 以及矩阵乘法的定义可知，矩阵 $A$ $A$ 和 $B$ $B$ 都是方阵。再由条件 $AB=I$ $AB=I$ 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是 $n\times n$ $n\times n$ 方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵 $A$ $A$ 施以初等行变换（初等列变换）就相当于在 $A$ $A$ 的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对 $A$ $A$ 和 $I$ $I$ 施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵 $A$ $A$ 被变为 $I$ $I$ 时， $I$ $I$ 就被变为 $A$ $A$ 的逆阵 $B$ $B$ 。

性质

$\left (A^{-1} \right )^{-1}=A$
$(\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}$ $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ $\left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}$ （ $A^{\mathrm {T} }$ $A^{\mathrm{T}}$ 为A的转置）
$\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$ $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$ （det为行列式）

Degree Matrix (次数矩阵) https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_matrix

In the mathematical field of graph theory the degree matrix is a diagonal matrix which contains information about the degree of each vertex—that is, the number of edges attached to each vertex. It is used together with the adjacency matrix to construct the Laplacian matrix of a graph.

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