康瑞部落

转自：http://www.cnblogs.com/ILove/archive/2009/06/23/1509607.html

之前做拓扑图，本来打算整一套坐标系统在里面的，后来因为时间原因暂时用了最原始的方法实现。现在稍稍得闲，重新开始思考这个问题。不过在搜索的时候，意外发现.Net Framework类库中自带的有实现坐标系转换功能的类。Reflector了一把，发现代码看不懂了——都是利用矩阵操作的。矩阵这玩意儿，几年没用早忘完了。于是认真学习了一把，顺便把如何用矩阵进行坐标转换的过程记录和注解一下。文中部分内容摘取自MSDN，搜索“变换的矩阵表示形式”即可找到。

首先review一下矩阵的基础知识：

m×n 矩阵是排列在 m 行和 n 列中的一系列数。下图显示几个矩阵。

可以通过将单个元素相加来加合两个尺寸相同的矩阵。下图显示了两个矩阵相加的示例。

m×n 矩阵可与一个 n×p 矩阵相乘，结果为一个 m×p 矩阵。第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同。例如，一个 4×2 矩阵与一个 2×3 矩阵相乘，产生一个 4×3 矩阵。

矩阵的行列的平面点可视为矢量。例如，(2, 5) 是具有两个组件的矢量，(3, 7, 1) 是具有三个组件的矢量。两个矢量的点积定义如下：

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

例如，(2, 3) 和 (5, 4) 的点积是 (2)(5) + (3)(4) = 22。(2, 5, 1) 和 (4, 3, 1) 的点积是 (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24。请注意，两个矢量的点积是数字，而不是另一个矢量。另外请注意，只有当两个矢量的组件数相同时，才能计算点积。

将 A(i, j) 作为矩阵 A 中第 i 行、第 j 列的项。例如，A（3, 2）是矩阵 A 中第 3 行、第 2 列的项。假定 A、B 和 C 是矩阵，且 AB = C，则 C 的项计算如下：

C(i, j) =（A 的第 i 行）•（B 的第 j 列）

下图显示了矩阵相乘的几个示例。

以第二个等式为例，假设等式两边的矩阵分别是a、b、c，1*3的矩阵和3*2的矩阵相乘，得到的结果为1*2的矩阵。其中c[0][0] = a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]+a[0][2]*b[2][0]，c[0][1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]+a[0][2]*b[2][1]。

矩阵的加法、乘法，可以用来做坐标转换。我们通常使用3*3(如果不需要旋转，则2*2的矩阵即可)的矩阵来做平面上的各种坐标转换，包括x/y轴的平移、旋转。现在来看一个简单的坐标系转换的例子：假设我们的客户区分辨率是100*100，要在客户区中心点画一个点，这个点的坐标是(x, y)。现在如果我们调整了客户区分辨率为400*300，此时如果还需要保持这个点的相对位置不变，计算他的坐标应该是(x * 400 / 100, y * 300 / 100)。这个计算过程很简单，那么用矩阵操作应该如何来实现呢？

我们将这个点视为一个1*2的矩阵，将其乘以一个2*2的矩阵，得出的仍然是一个1*2的矩阵，就是新的坐标了。由于屏幕分辨率在x、y轴分别扩大为原来的4倍和3倍，那么我们只要将点的x、y轴坐标都扩大到原来的4、3倍即可。公式如下：

等式左边的第二个矩阵，就是用来实现坐标转换的矩阵。其中b[0][0]就是x轴的扩大倍数，b[1][1]就是在y轴上的扩大倍数。这里面b[0][1]和b[1][0]永远是0。坐标系的这种转换，叫做线性变换。

OK。看完这个例子，是不是觉得用矩阵比直接计算还麻烦？嗯，对于这种简单的情况是这样的。不过别急，继续看坐标系旋转的情况，如果现在要求这个客户区逆时针旋转30度，要保持这个点的相对位置不变，他的新坐标应该是多少呢？

普通的计算的公式就不陈述了，这就是个初中几何题目。我们直接来看怎样通过矩阵操作实现。首先看公式：在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 θ 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。关于原点逆时针旋转 θ 的矩阵是:

也就是说，逆时针旋转30度的新坐标就是：

当然，除此之外，坐标系还有平移，但是这个就简单了，只是一个简单的矩阵加法。比如(x, y)向右平移一个单位，用矩阵就是[x, y] + [1, 0]就是是(x + 1, y)。

下图显示了应用于点 (2, 1) 的几个变换：

前图中显示的所有变换都是线性变换。某些其他变换（如平移）不是线性的，不能表示为与 2×2 矩阵相乘的形式。假定您要从点 (2, 1) 开始，将其旋转 90 度，在 x 方向将其平移 3 个单位，在 y 方向将其平移 4 个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。

后面跟一平移（与 1×2 矩阵相加）的线性变换（与 2×2 矩阵相乘）称为仿射变换，如上图所示。放射变换（先乘后加）可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现，若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的 1×3 矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于 1。例如，矩阵 [2 1 1] 代表点 (2, 1)。下图演示了表示为与单个 3×3 矩阵相乘的仿射变换（旋转 90 度；在 x 方向上平移 3 个单位，在 y 方向上平移 4 个单位）：

在前面的示例中，点 (2, 1) 映射到了点 (2, 6)。请注意，3×3 矩阵的第三列包含数字 0，0，1。对于仿射变换的 3×3 矩阵而言，情况将总是如此。重要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左上角的 2×2 部分表示变换的线性部分，第 3 行中的前两项表示平移。

在使用3*3的矩阵做仿射变换时候，表示点的矩阵变成了一个1*3矩阵，这个矩阵中的最后一个值（a[0][2]）必须设置成1。对于3*3矩阵b，其最后一列的值是多少是没有关系的，因为他们不会影响结果中的前两列。不过如上，经常将他们设置为0，0，1。这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响，但是他们是必须的，因为矩阵相乘必须满足开篇所讲的“相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同”。

在.Net Framework中，又一个矩阵类“Matrix”。其内置了点坐标转换（TransformPoints）、平移（Translate）、缩放（Scale）、旋转（Rotate）方法。下面的示例创建了复合变换（先旋转 30 度，再在 y 方向上缩放 2 倍，然后在 x 方向平移 5 个单位）的矩阵：

Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);

除了Matrix类以外，.Net Framework中也有其他用于坐标系转换的类，比如System.Drawing.Graphics。具体用法请查阅相关文档。

以上只是利用矩阵进行平面坐标系转换的方法。如果是三位坐标系，也是可以利用矩阵来操作的，但Matrix类不行，因为其本身的定位就是“封装表示几何变换的 3 x 3 仿射矩阵”。

不过，可以附上几个三维空间的旋转公式：

上面是分别绕单个轴旋转的公式。复杂的旋转可以通过这三个公式组合而成，任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角 θ_x, θ_y, 和 θ_z 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。